С помощью векторов докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между двумя отрезками, на которые он делит гипотенузу.

Пусть основание высоты (на гипотенузе) - это точка О. С - вершина прямого угла. Тогда высота - это вектор h = ОС, отрезки гипотенузы k = OA; p = BО; (*****первая точка означает начало вектора, вторая - конец, к примеру, ОА = - АО) и стороны треугольника можно записать так CB = p + h; CA = k - h; BA = k + p;  Поскольку  АВС прямоугольный треугольник, то (k + p)^2 = (k - h)^2 + (p + h)^2;  Раскрываем скобки. k^2 + 2kp + p^2 = k^2 - 2kh + h^2 + p^2 + 2ph + h^2; Вектор h перпендикулярен векторам k и p, => скалярные произведения kh и ph равны 0.  Скалярное произведение kp = kp (то есть произведение длин отрезков гипотенузы), поскольку эти векторы коллинеарны.  Поэтому kp = h^2; чтд.