Сформулированы следующие два утверждения: а) уравнение ax - sqrt(x) + 1 = 0 имеет ровно одно решение б) неравенство x^2 - 8ax + 1 меньше = 0 имеет хотя бы одно решение Определить все значения параметра а, при каждом из которых...

Сформулированы следующие два утверждения: а) уравнение ax - sqrt(x) + 1 = 0 имеет ровно одно решение б) неравенство x^2 - 8ax + 1 <= 0 имеет хотя бы одно решение Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба утверждения справедливы
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
а) [latex]ax-\sqrt x+1=0,\quad\sqrt x=t\\\Rightarrow at^2-t+1=0[/latex]. Это квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю, т.е. [latex]1-4a=0\Rightarrow a=\frac14[/latex] б) [latex]x^2-8ax+1\leq 0\\x^2-8ax+1= 0[/latex] Это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если дискриминант неотрицателен, т.е. [latex]64a^2-4\geq0[/latex]. Это неравенство справедливо при [latex]a\in\left[\frac14;+\infty\right)[/latex]
Гость
а) Рассмотрим уравнение [latex]ax-\sqrt{x}+1=0[/latex] (a=0 подходит тогда х=1)сделаем замену переменных [latex]t=\sqrt{x}>{0}[/latex]. Получим уравнение  [latex]at^2-t+1=0[/latex] (здесь [latex]a\neq{0}[/latex])Данное квадратное уравнение имеет 1 корень, если дискриминант D=0. Однако, если уравнение имеет 2 решения, причем разного знака, то нам подходит только одно положительное. Следовательно, в этом случае исходное уравнение будет иметь тоже 1 корень. Поэтому рассматриваем случай, когда [latex]D\geq{0}[/latex] [latex]D=1-4a\geq{0}[/latex] Тогда [latex]a\leq{\frac{1}{4}}[/latex] Далее пусть меньший корень будет < 0, а больший >0. Необходимо рассмотреть 3 случая: 1) [latex]01, следовательно a<0. Получаем нет решений. 2) [latex]a<0[/latex]  [latex]x_2=\frac{1+\sqrt{D}}{2a}-1[/latex] всегда выполняется. [latex]x_1>0[/latex] Тогда  D>1, следовательно a<0. 3) [latex]a=\frac{1}{4}[/latex]  [latex]t=2>0[/latex]  Таким образом [latex]a\leq{0}[/latex] и  [latex]a=\frac{1}{4}[/latex] б) неравенство [latex]x^2-8ax+1\leq{0}[/latex] будет иметь хотя бы один решение, если [latex]D=64a^2-4\geq{0}[/latex]. Отсюда получаем a из [latex](-\infty ; -\frac{1}{4}]\cup{[\frac{1}{4};+\infty)}[/latex]
Не нашли ответ?
Ответить на вопрос
Похожие вопросы