Шарик подвешен к потолку ящика пружинной жесткостью 1Н/см а с дном ящика соединён пружинной с жёсткостью 3 Н/см. Определите период и частоту вертикальных гармонических колебаний шарика. РАСПИШИТЕ ЗАДАЧУ ПОЛНОСТЬЮ ПОЖАЛУЙСТА, ЖЕ...

ПЕРВЫЙ СПОСОБ ::: Рассмотрим обычную гуковскую пружину длины    [latex] L \ , [/latex]    и жёсткостью    [latex] k \ , [/latex]    деформацию которой обозначим, как    [latex] l \ . [/latex]    Тогда возникающая сила упругости при её деформации будет выражаться обычным законом Гука: [latex] F = -kl \ ; [/latex] Рассмотрим некоторое состояние [1] :    [latex] F_1 = -kl_1 [/latex] и некоторое состояние [2] :    [latex] F_2 = -kl_2 [/latex] При вычитании этих уравнений получим, что для двух любых состояний верно, что: [latex] F_2 - F_1 = -k ( l_2 - l_1 ) \ ; [/latex] [latex] \Delta F = -k \Delta l \ ; [/latex] Т.е. изменение силы действующей со стороны любой гуковской пружины пропорционально изменению её деформации с противоположным знаком, через её собственную жёсткость. В нашем случае, в состоянии равновесия    [latex] z = 0 [/latex]    – все силы, действующие на груз, взаимно скомпенсированы. При изменении положения груза на    [latex] z > 0 \ , [/latex]    (т.е. вверх), растяжение нижней пружины (down) увеличится, а значит её сила, действующая на груз вниз – тоже увеличится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как: [latex] \Delta F_d = - k_d z < 0 [/latex]    – это символизирует увеличение отрицательной (направленной вниз) величины силы нижней пружины. В то же время, при изменении положения груза на    [latex] z > 0 \ , [/latex]    (вверх), растяжение верхней пружины (up) уменьшится, а значит её сила, действующая на груз вверх – тоже уменьшится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как: [latex] \Delta F_u = - k_u z < 0 [/latex]    – это символизирует уменьшение  положительной (направленной вверх) величины силы верхней пружины. Общее изменение силы составит (сила тяжести не изменится): [latex] \Delta F = \Delta F_d + \Delta F_u = - ( k_d + k_u ) z \ ; [/latex] При этом, поскольку в начальном состоянии действие всех сил было скомпенсировано, т.е. равнодействующая была равна нулю, то, стало быть, при смещении груза на    [latex] z \ , [/latex]    общая сила, действующая со стороны системы пружин – будет как раз и равна изменению действующих сил: [latex] F = - ( k_d + k_u ) z \ ; [/latex] (рассуждения для отрицательного смещения производятся аналогично) А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть: [latex] T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ , [/latex]    где    [latex] m [/latex]    –  масса шарика. [latex] \nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ . [/latex] ВТОРОЙ СПОСОБ ::: Пусть начальные растяжения пружин:    [latex] l_d [/latex]   (нижней), и    [latex] l_u [/latex]   (верхней). При этом положим вертикальное положение груза    [latex] z = 0 \ . [/latex]    Ось    [latex] Oz [/latex]    направлена вверх. Запишем закон сохранения энергии для произвольного положения груза: [latex] \frac{mv^2}{2} + mgz + \frac{k_d}{2} ( l_d + z )^2 + \frac{k_u}{2} ( l_u - z )^2 = const \ ; [/latex] Продифференцируем уравнение по времени: [latex] mvv'_t + mgz'_t + k_d ( l_d + z ) z'_t - k_u ( l_u - z ) z'_t = 0 \ ; \ \ \ \ || : z'_t [/latex] [latex] mv'_t + mg + k_d ( z + l_d ) + k_u ( z - l_u ) = 0 \ ; [/latex] [latex] mz''_t = k_u l_u - k_d l_d - mg -( k_d + k_u )z \ ; [/latex] Заметим, что в начальном положении, действие всех сил скомпенсировано: [latex] k_u l_u - k_d l_d - mg = 0 \ ; [/latex] (сила только верхней пружины положительна, т.к. направлена вверх) Итак: [latex] mz''_t = -( k_d + k_u )z \ ; [/latex] А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть: [latex] T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ , [/latex]    где    [latex] m [/latex]    –  масса шарика. [latex] \nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ . [/latex] ТРЕТИЙ СПОСОБ ::: Зафиксируем груз. Демонтируем нижнюю пружину. Прикрепим нижнюю пружину тоже свреху (!) груза, закрепив её на таком вертикальном расстоянии от груза, чтобы при отпускании груза – он остался бы в равновесии. Сборка окажется эквивалентной, поскольку изначально верхняя пружина будет работать, как прежде. А перемещённая пружина при поднятии груза будет толкать груз вниз с таким же коэффициентом упругости, с которым она тянула бы его вниз, будучи снизу. С противоположным смещением – то же самое. Обе пружины при такой эквивалентной сборке будут работать в параллельном режиме, как хорошо известно, с суммарной жёсткостью: Итак: [latex] F = -( k_d + k_u )z \ ; [/latex] [latex] T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ , [/latex]    где    [latex] m [/latex]    –  масса шарика. [latex] \nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ . [/latex] ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ ::: [latex] 1 [/latex]   Н/см   [latex] = 100 [/latex]   Н   [latex] : 100 [/latex]   см   [latex] = 100 [/latex]   Н   [latex] : 1 [/latex]   м   [latex] = 100 [/latex]   Н/м ; [latex] 3 [/latex]   Н/см   [latex] = 300 [/latex]   Н   [latex] : 100 [/latex]   см   [latex] = 300 [/latex]   Н   [latex] : 1 [/latex]   м   [latex] = 300 [/latex]   Н/м ; Допустим, масса шарика равна 1 кг. Тогда: [latex] T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{1}{ 300 + 100 } } \approx 0.314 [/latex]   сек ; [latex] \nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \approx \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ 300 + 100 }{1} } \approx 3.18 [/latex]    Гц .