Sinx+cosx=Под корнем 2cos(П/4-x

[latex] \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ; [/latex] Воспользуемся формулой [latex] \cos{a} + \cos{b} = 2 \cos{ \frac{a+b}{2} } \cos{ \frac{a-b}{2} } \ ; [/latex] [latex] \sin{x} + \cos{x} = \cos{ ( \frac{ \pi }{2} - x ) } + \cos{x} = 2 \cos{ \frac{ [ \pi/2 - x ] + x }{2} } \cos{ \frac{ [ \pi/2 - x ] - x }{2} } = 2 \cos{ \frac{ \pi }{4} } \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \ ; [/latex] Тогда исходное уравнение можно переписать так: [latex] 2 \cos{ \frac{ \pi }{4} } \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ; [/latex] [latex] 2 \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ; [/latex] [latex] \sqrt{2} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ; [/latex] ОДЗ: [latex] \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \geq 0 \ ; [/latex] [latex] ( \sqrt{2} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } )^2 = ( \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } )^2 \ ; [/latex] [latex] 2 \cos^2{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \ ; [/latex] [latex] \cos^2{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \ ; [/latex] [latex] \cos^2{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } - \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 0 \ ; [/latex] [latex] \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } ( \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } - 1 ) = 0 \ ; [/latex] [latex] \left[\begin{array}{l} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 0 \ , \\ \\ \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 1 \ ; \end{array}\right [/latex] Оба решения удовлетворяют ОДЗ. [latex] \left[\begin{array}{l} x - \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{2} + \pi k , k \in Z \ ; \\ \\ x - \frac{ \pi }{4} = 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right [/latex] [latex] \left[\begin{array}{l} x = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} + \pi k , k \in Z \ ; \\ \\ x = \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right [/latex] О т в е т : [latex] \left[\begin{array}{l} x = \frac{3}{4} \pi + \pi k , k \in Z \ ; \\ \\ x = \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right [/latex] .