Sinx+sin3x+sin5x+sin7x=0

sinx+sin3x+sin5x+sin7x=0 Сгруппируем слагаемые (sinx+sin7x)+(sin3x+sin5x)=0 Теперь по формуле суммы синусов заменим произведением [latex]2sin(\frac{x+7x}{2})*cos(\frac{x-7x}{2})+2sin(\frac{3x+5x}{2})*cos(\frac{3x-5x}{2})=0 [/latex] 2sinx(8x/2)*cos(-6x/2)+2sin(8x/2)*cos(-2x/2)=0 2sin4x*cos3x+2sin4x*cosx=0 Пояснения: Т.к. косинус-четная функция, то отрицательный угол можем заменить на положительный. Т.е. если было cos(-3х), то это cos3x, если было cos(-x), то это cosx. Вынесем за скобку общий множитель 2sin4x(cos3x+cosx)=0 По формуле суммы косинусов, заменим произведением 2sin4x*2cos((3x+x)/2)*cos((3x-x)/2)=0 4sin4x*cos(4x/2)*cos(2x/2)=0 4sin4x*cos2x*cosx=0 Теперь пользуемся правилом: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому sin4x=0                   cos2x=0                     cosx=0 Решаем по частным формулам 4x=П*k                   2x=П/2 +П*k              x=П/2 + П*k x=П/4 *k                x=П/4 + П/2 *k            Ответ: x=П/4 *k, x=П/4 + П/2 *k , x=П/2 + П*k