Сколько острых углов φ удовлетворяет соотношению sin(φ)+sin(2φ)+sin(3φ)+…+sin(27φ)=0 ?

Памятуя, что [latex]\sin n\varphi = \text{Im}(e^{in\varphi})[/latex] Перепишем уравнение следующим образом [latex]\text{Im}(e^{i\varphi}+e^{2i\varphi}+...+e^{27i\varphi}) = 0[/latex] Теперь увидим в скобках обычную геометрическую прогрессию [latex]\text{Im}\left(\frac{e^{i\varphi}(1-e^{27i\varphi})}{1-e^{i\varphi}}\right)=0[/latex] Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число (мы можем это сделать, так как фи от 0 до пи пополам строго). В знаменателе будет чисто действительное число, поэтому уравнение можно будет упростить до [latex]\text{Im}[(1-e^{-i\varphi})e^{i\varphi}(1-e^{27i\varphi})]=0\\ \text{Im}[(1-e^{i\varphi})(1-e^{27i\varphi})] = 0[/latex] Обсудим более подробно функцию действительного параметра [latex]f(\alpha) = 1-\exp(i\alpha)[/latex] Множество ее значений на комплексной плоскости - это окружность единичного радиуса, смещенная на 1 по оси действительных значений. Поэтому действительность произведения (см последнее уравнение) [latex]\text{Im}[f(\varphi)f(27\varphi)] = 0[/latex] Означает две вещи, либо сумма комплексных аргументов сомножителей равна πk, либо второй сомножитель равен 0 (напомним что для острых φ первый множитель не зануляется) Рассмотрим первую ветвь поподробнее, воспользовавшись тем, что [latex]\tan\arg f(\alpha) = -\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = -\tan(\alpha/2)\\\\ \arg f(\varphi)+\arg f (27\varphi) = \pi k\\ \tan(\arg f(\varphi)+\arg f (27\varphi)) = 0\\ \tan(\varphi/2)+\tan(27\varphi/2) = 0\\ \varphi/2 = -27\varphi/2+\pi k\\ \varphi = \pi k/14[/latex] Первая ветвь дает решения в нашей области π/14; 2π/14; 3π/14 ... 6π/14 (6 корней) Вторая ветвь f(27φ) = 0 имеет элементарное решение [latex]27\varphi = 2\pi k\\ \varphi = \frac{2}{27}\pi k[/latex] И это дает нам корни 2π/27; 4π/27; 6π/27...12π/27 (еще 6 корней, не совпадающих с первыми) ! Итого ответ 12 корней. ! В справедливости ответа можно убедиться, построив график в любом графопостроителе. Интересный факт, корни первого семейства расположены достаточно близко к корням второго семейства (по сравнению с характерным расстоянием между парами корней)