Снаряд выпущен из пушки вертикально вверх со скоростью 400 м/с. В наивысшей точке подъёма он разорвался на два осколка, причём оба осколка упали вблизи точки выстрела. Первый упал со скоростью, в 2 раза большей начальной, а вто...

Раз осколки упали вблизи точки выстрела, значит при разрыве они не получили дополнительных горизонтальных скоростей. Значит начальные скорости [latex] v_1 [/latex] и [latex] v_2 [/latex] осколков с массами, соответственно: [latex] m_1 [/latex] и [latex] m_2 [/latex] строго вертикальны. Пусть «быстрый» осколок, тот что упал первым, это 1-ый осколок [latex] m_1 [/latex] . И пусть второй осколок отличается от первого в [latex] k [/latex] раз по массе, т.е. [latex] m_2 = k m_1 [/latex] , тогда из закона сохранения импульса получим, что: [latex] m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 [/latex] ; [latex] m_1 v_1 + k m_1 v_2 = 0 [/latex] ; [latex] k v_2 = -v_1 [/latex] ; [latex] v_2 = -v_1/k [/latex] – формула [1] ; Считая положительным направлением – направление вниз, будем иметь ввиду, что: [latex] v_1 > 0 [/latex] и [latex] v_2 < 0 [/latex] , т.е. второй осколок полетит вверх, что логично ; При падении с высоты наивысшего подъёма, квадрат скорости любого тела увеличится на квадрат начальной скорости снаряда, что следует из безвременнóй формулы: [latex] 2 g H = v_o^2 = v_{11}^2 - v_1^2 [/latex] – формула [2] , где [latex] v_{11} [/latex] – конечная скорость первого «быстрого» осколка. С другой стороны, известно, что она больше начальной скорости снаряда вдвое, т.е. [latex] v_{11} = 2 v_o [/latex] , тогда: [latex] v_o^2 = ( 2 v_o ) ^2 - v_1^2 [/latex] ; [latex] v_1^2 = 3 v_o^2 [/latex] ; [latex] v_1 = v_o \sqrt{3} [/latex] – формула [3] ; Поскоьку второй осколок упал через [latex] t_2 = [/latex] 80 c после разрыва, то мы можем использовать этот факт: [latex] v_2 t + \frac{ g t^2 }{2} = H = \frac{ v_o^2 }{2g} [/latex] – это следует из формулы [2] ; [latex] v_2 t = \frac{ v_o^2 }{2g} - \frac{ g t^2 }{2} [/latex] ; [latex] v_2 = \frac{ v_o^2 }{2gt} - \frac{gt}{2} [/latex] ; Подставим это в формулу [1] и получим: [latex] -v_1/k = \frac{ v_o^2 }{2gt} - \frac{gt}{2} [/latex] , отсюда: [latex] v_1/k = \frac{gt}{2} - \frac{ v_o^2 }{2gt} [/latex] , отсюда с учётом формулы [3] : [latex] k = v_o \sqrt{3} / ( \frac{gt}{2} - \frac{ v_o^2 }{2gt} ) [/latex] ; [latex] k = \frac{ \sqrt{3} }{2} / ( \frac{gt}{v_o} - \frac{v_o}{gt} ) [/latex] ; Но величина k – и есть искомое отношение масс. Осталось только вычислить его. Легко вычислить, что [latex] k = \frac{1}{\sqrt{3}} [/latex] ; Ответ: * если считать, что g = 10 Н/кг – упавший первым осколок в [latex] \sqrt{3} [/latex] = 1.73 раз тяжелее упавшего последним. ** если считать, что g = 9.8 Н/кг – упавший первым осколок в 1.67 раз тяжелее упавшего последним.