Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро образует с её основанием угол 45 градус. Найти обьём пирамиды

Т.к. SABC-правильная треугольная пирамида, в основании правильный треугольник V=1/3*Sосн.*H Sосн.=(а²√3)/4 (эта формула площади только для правильного треугольника) Если вокруг треугольника описать окружность, то мы найдем радиус R=[latex] \frac{a}{ \sqrt{3} } [/latex]=AO угол SAO=45 градусов, cosA=[latex] \frac{AO}{AS} [/latex], AS=[latex] \frac{AO}{cos45} [/latex]=[latex] \frac{a}{ \sqrt{3} } [/latex]/[latex] \frac{ \sqrt{2} }{2} [/latex]=[latex] \frac{a*2}{ \sqrt{3}* \sqrt{2} } [/latex]=[latex] \frac{2a}{ \sqrt{6} } [/latex] OS-высота  пирамиды и т.к. она правильная то попадает в центр треугольника и центр описанной окружности треугольник ASO-прямоугольный, то по т. Пифагора OS=[latex] \sqrt{ (\frac{2a}{ \sqrt{6} }) ^{2}-( \frac{a}{ \sqrt{3} }) ^{2} } = \sqrt{ \frac{4a ^{2} }{6}- \frac{ a^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{2a ^{2} }{3}- \frac{a ^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{a ^{2} }{3} }= \frac{a}{ \sqrt{3} } [/latex] V=[latex] \frac{1}{3}* \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4} * \frac{a}{ \sqrt{3} } = \frac{a ^{3} }{12} [/latex]