Сумма второ, четвертого и шестого членов арефметических прогресии равна 18, а их произведение равно 168. Найдите первый член прогресии.

Сначала вспомним, что [latex]a_4=\dfrac{a_2+a_6}2[/latex] Тогда из первого условия можно сразу найти четвертый член:  [latex]a_2+a_4+a_6=2a_4+a_4=3a_4=18[/latex] Откуда [latex]a_4=6[/latex] Теперь, пользуясь представлением [latex]a_2=a_4-2d;\quad a_6=a_4+2d[/latex] запишем второе условие: [latex](6-2d)\cdot6\cdot(6+2d)=168\\ 36-4d^2=28\\ 4d^2=8\\ d=\pm\sqrt2[/latex] Теперь уже можно найти первый член прогрессии: [latex]a_1=a_4-3d=6\pm3\sqrt 2 [/latex]

[latex]a_2+a_4+a_6 =18\ => (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)=18\ =>\\ 3a_1+9d=18\ => a_1+3d=6\ => a_4=6\ => a_2+a_6=12.\\\\ a_2*a_4*a_6=168\ => a_2*6*a_6=168\ => a_2*a_6=28.[/latex] [latex] \begin{cases} a_2+a_6=12 \\ a_2*a_6=28 \end{cases} <=> \begin{cases} a_2 =12-a_6 \\ (12-a_6)*a_6=28 \end{cases} =>\\ (a_6)^2-12a_6+28=0\\ a_6=6б2\sqrt2\\ 1) a_6=6-2\sqrt2 \ =>a_2=6+2\sqrt2\ => d=\frac{a_4-a_2}{2}=\\ =\frac{6-6-2\sqrt2}{2}=-\sqrt2\ => a_1=a_2-d=6+2\sqrt2+\sqrt2=\\ =6+3\sqrt2; \\ 2) a_6=6+2\sqrt2 \ =>a_2=6-2\sqrt2\ => d=\frac{6-6+2\sqrt2}{2}=\\=\sqrt2\ => a_1=a_2-d=6-2\sqrt2-\sqrt2=\\ =6-3\sqrt2.\\\\ Ombem:\ a_1=6б3\sqrt2.[/latex]