Существует ли прямоугольный треугольник, у которого точка пересечения медиан лежит на окружности , которая вписана в этот треугольник. Если да, тогда найти величины острых углов этого треугольника.

Пусть a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности. Всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 (до катета b)  и b/3 (до a) - и сразу получается соотношение. (a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;  (a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0; Подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2; c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0; r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; Обозначаем r/c = x; x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1; поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то sin(A) + cos(A) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны 1 + sin(2*A) = (4*корень(3)/3 -1)^2; sin(2*A) = (2 - корень(3))*8/3; A = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);    подробное исследование этой задачи можно у меня найти тут http://znanija.com/task/652657