Свойства и признаки паралельных прямых (1-3) c доказательством

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .Рис. 1Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?Оказывается, такие прямые существуют.Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).Рис. 2То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин..2. Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углыРассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и bрассекаются прямой с (Рис. 3).Рис. 3с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).Эти углыназываются:- накрест лежащие углы: , ;- односторонние углы: , ;- соответственные углы: , , , . – смежные углы. – вертикальные углы.3. Признаки параллельности прямыxСформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и  (Рис. 4).Рис. 4Докажем, что .Доказательство:Рис. 5Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку , причем .Имеем два треугольника  и . Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними): (по условию), (по построению), ОА = ОВ (по построению).Из равенства треугольников следует, что . А значит – это продолжение ОН, то есть точки О, Н и  лежат на одной прямой.Также . Значит, прямая Н перпендикулярна к прямой b.Итак, мы имеем, что , . А значит, , что и требовалось доказать.Второй признак параллельности прямыхЕсли при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.Рис. 6Доказательство:Значит, .Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .Третий признак параллельности прямыхЕсли при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, (Рис. 7).Рис. 7Доказательство:Значит,  .Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .4. Решение задачПризнаки параллельности прямых используются для решения разных задач.Рассмотрим пример:а, b, с – прямые; с – секущая,,  (Рис. 8)Рис. 8Сведем к одному из признаков параллельности прямых.Следовательно,. По третьему признаку параллельности прямых.На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых. Список рекомендованной литературы1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.