Тема: Изображение комплексных чисел на координатной плоскости Известно, что |z1|=|z2|=|z3|=0 и |z1+z2+z3|=0. Докажите, что точки z1, z2, z3 образуют равносторонний треугольник.

Попробуем так [latex] |z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3} \neq 0 \\ |z_{1}+z_{2}+z_{3}|=0\\ [/latex]   положим что существуют такие числа [latex] z_{1}=a+ib\\ z_{2}=c+id\\ z_{3}=e+if\\ [/latex]     и такие что [latex]a;b \neq c;d \neq e;f\\ [/latex]  По условию  [latex] |z_{1}|=\sqrt{a^2+b^2} \\ |z_{2}| = \sqrt{c^2+d^2}\\ |z_{3}| = \sqrt{e^2+f^2}[/latex]  и  [latex](a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0 [/latex]  то есть имеет места система   [latex] \left \{ {{a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2 } \atop { (a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0}} \right. [/latex]  Со второй системы уравнения следует что  [latex] \left \{ {{a+c+e=0} \atop {b+d+f=0}} \right. [/latex]    Тогда как  выразим  [latex]c[/latex] и [latex] d[/latex] с данного  уравнения и подставим в выражение  [latex] ac+bd;ec+fd[/latex]  Теперь выразим [latex] e ; f[/latex] и подставим  в выражения  [latex]ec+fd;\\ ea+bf[/latex]  Получим   [latex]a^2+b^2= c^2+d^2\\ c^2+d^2=e^2+f^2[/latex]   Значит выражения  [latex]ac+bd=ec+fd=ea+bf[/latex] ,  Заметим что [latex](c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd) \\ (e-c)^2+(f-d)^2=e^2+f^2+c^2+d^2-2(ec+fd)\\ (e-a)^2+(f-b)^2 = e^2+a^2+f^2+b^2-2(ea+bf) [/latex]  Учитывая что  [latex] |z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|[/latex]  Получим что  три выше сказанные выражения равны  а так как   [latex](c-a)^2+(d-b)^2 ; (e-c)^2+(f-d)^2 ; (e-a)^2+(f-b)^2[/latex]  - есть стороны длины и они как доказали равны , то есть удовлетворяют равенству сторон  ,  а это в свою очередь равносторонний треугольник.