Теорма о бессектрисе угла

Если прямая, проведённая из одной вершины треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные длинам прилежащим к ним сторон, то она являетсябиссектрисой.

Теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).Если AA1 ¾  биссектриса угла A треугольника ABC, тоBA1 : A1 C = BA : AC.Доказательство. Пусть угол при вершине A в треугольнике ABC равен 2a. Рассмотрим треугольники BAA1 и CAA1 (см. рис.). Их площади относятся как отрезки BA1 и A1C, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.