Точки К и М лежат на сторонах соответственно АВ и ВС треугольника АВС, причем ВК:КА=1:4, ВМ:МС=3:2. прямая МК пересекает продолжение стороны АС в точке Т. Найдите АС:СТ.

Очень важная задача. Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P. Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства AK/KB = AT/TP; BM/MC = TP/CT; если перемножить эти равенства, то получится (AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT;  (*) Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6; AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5; Если вернуться к соотношению (*)  (AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT;  то его можно переписать так (AK/KB)*(BM/MC)*(CT/AT) = 1; или (AK*BM*CT)/(KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая. PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое.