Точки M и E середины ребер AC и AB правильного тетраэдра ABCD соответственно, P-точка пересечения медиан треугольника BDC. Найдите угол между прямыми MP и DE.

Примем длину рёбер заданного тетраэдра за 1. Определим координаты всех заданных точек. Для этого поместим пирамиду точкой А в начало координат, точку В - на оси ОУ. Координаты точки А    Координаты точки B     Координаты точки C  ax    ay      az                    bx    by       bz             cx      cy       cz   0     0        0                     0        1       0          0.866    0.5       0 Координаты точки Д             Координаты точки Е  дx        дy       дz                       Еx     Еy     Еz 0.2887  0.5  0.8165                      0       0.5     0 Координаты точки Р             Координаты точки М Рx             Рy          Рz              Мx      Мy      Мz 0.3849  0.66667  0.2722          0.433   0.25       0. Находим координаты векторов МР и ДЕ.                                                               x               y               z              Вектор МР={xР-xМ, yР-yМ, zР-zМ} -0,048113  0,4166667  0,27216553 Вектор ДЕ={xЕ-xД, yЕ-yД, zЕ-zД}   -0,288675          0       -0,81649658. Косинус угла между векторами определяем по формуле: [latex]cos \alpha = \frac{|axbx+ayby+azbz|}{ \sqrt{ax^2+ay^2+az^2}* \sqrt{bx^2+by^2+bz^2}}[/latex]. Подставив координаты векторов в формулу, получаем: cosα = 0,20833333 / 0,433012702  = 0,48112522. Данному косинусу соответствует угол: α = 1,0688585 радиан или  61,241082°.