Точки M и N - середины соседних сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

пусть P = точка пересечения AM и BD; Q точка пересечения AN и BD заметим что APD подобен MPB. и из подобия AP = 2PM; (соответственно AP =  [latex] \frac{2*AM}{3} [/latex]) аналогично из подобия ABQ и NQD, AQ = 2QN. AQ = [latex] \frac{2*AN}{3} [/latex] Вектор AP = [latex] \frac{2AM}{3} = \frac{2}{3} * ( \frac{AB+AC}{2} ) = \frac{AB+AB+BC}{3} = \frac{2*AB+AC}{3} [/latex] Вектор AQ = [latex] \frac{2*AN}{3} = \frac{2}{3} * \frac{AC+AD}{2} = \frac{AB+BC+BC}{3} = \frac{AB+2BC}{3} [/latex] (воспользовались тем, что вектор AD = вектору BC) теперь вычислим вектора BP, PQ, QD увидим что одинаковы BP = AP-AB = [latex] \frac{2AB+BC}{3} - AB = \frac{BC-AB}{3} [/latex] PQ = AQ-AP =[latex] \frac{AB+2BC}{3} - \frac{2AB+BC}{3} = \frac{BC-AB}{3} [/latex] QD = AD-AQ = BC-AQ = [latex]BC - \frac{(AB+2BC)}{3} = \frac{BC-AB}{3} [/latex]