Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(2, 4) B(9, 5) C(6. 0). Найти: а)уравнение и длину высоты BD б)уравнение и длину медианы BM в)угол f между высотой BD и медианой BM г)уравнение биссектрис внутреннего и внешнего...

Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(2, 4) B(9, 5) C(6. 0). Найдем: а)уравнение и длину высоты BD Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂) [latex] \frac{x- x_{1} }{y-y _{1} }= \frac{x _{2} -x_{1} }{y _{2}-y _{1} } [/latex] Уравнение АС: [latex] \frac{x-2}{y-4} = \frac{6-2}{0-4} [/latex] -4(x-2)=4(y-2) x+y-6=0 n₁(1;1)- нормальный вектор прямой АС. Координаты нормального вектора прямой ВД n₂(-1;1) так как прямые перпендикулярны, то нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0. Уравнение прямой ВД : -х+у+с=0 значение с найдем, подставив в данное уравнение координаты точки В. -9+5+с=0, с=4 Уравнение прямой ВД: -х+у+4=0 Найдем координату точки Д как точки пересечения прямых АС и ВД, решаем систему уравнений: [latex] \left \{ {{x+y-6=0} \atop {-x+y+4=0}} \right. [/latex] Сложим уравнения: 2у-2=0. у=1, тогда х=-у+6=-1+6=5 Координата точки Д (5;1) Длина ВД=√(5-9)²+(1-5)²=√32=4√2 б)уравнение и длину медианы BM Координаты точки М как середины отрезка АС: х=(2+6)/2, у=(4+0)/2 М(4;2) Уравнение прямой ВМ как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами имеет вид: [latex] \frac{x-4}{y-2} = \frac{9-4}{5-2} [/latex]  или 3х-5у-2=0 ВМ=√(4-9)²+(2-5)²=√34 в)угол α между высотой BD и медианой BM Вектор BD имеет координаты (-4;-4), вектор ВМ имеет координаты (-5;-3) BD·BM=|BD|·|BM|·cosα ⇒ [latex]cos \alpha = \frac{(-5)(-4)+(-4)(-4)x}{ \sqrt{(-5) ^{2}+(-3) ^{2} } \sqrt{(-4) ^{2}+(-4) ^{2} } } = \frac{32}{ \sqrt{34\cdot 4 \sqrt{2} } } = \frac{4}{ \sqrt{17} } , \alpha =arccos \frac{4}{ \sqrt{17} } [/latex] г)уравнение биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине A длина стороны АВ=√(9-2)²+(5-4)²=√50, длина стороны АС=√(6-2)²+(0-4)²=4√2 Биссектриса АК делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: ВК:КС=АВ:АС, ВК:ВС=(√50):(4√2)=5/4 Координаты точки К, как точки делящей отрезок ВС в отношении 5|4 [latex] x_{k} = \frac{9+1,25 \cdot 6}{1+1,25}= \frac{66}{9},y _{k}= \frac{5+1,25\cdot 0}{1+1,25} = \frac{20}{9} [/latex] Уравнение биссектрисы АК как прямой проходящей через две точки А и К: [latex] \frac{x-2}{y-4}= \frac{ \frac{66}{9}-2 }{ \frac{20}{9}-4 } },(x-2)=-3(y-4),x+3y-14=0[/latex] нормальный вектор  прямой АК - биссектрисы  внутренннего угла А: n₃(1:3) нормальный вектор биссектрисы внешнего угла, перпендикулярной биссектрисе АК, имеет координаты n₄=(-3:1), так как должно быть:  n₃·n₄=0 Тогда уравнение биссектрисы внешнего угла -3х+у+с=0 значение с найдем подставив в данное уравнение координаты точки А: 3(-2)+4+с=0, с=2 уравнение биссектрисы внешнего угла    -3х+у+2=0