Цифры двузначного числа таковы, что если между ними вставить число 5, то цифры    полученного трехзначного числа составят арифметическую прогрессию, а если вставить число 3, то - геометрическую. Найдите это двузначное число.

Пусть искомое число Х=ab=10a+b Если вставить число 5, то получится число Y=a5b=100a+50+b При этом [latex]a_{3}=(a,5,b)[/latex] - арифметическая прогрессия. Тогда: [latex]5= \frac{a+b}{2} [/latex] Если вставить число 3, то получится число Z=a3b=100a+30+b При этом [latex]b_{3}=(a,3,b)[/latex] - геометрическая прогрессия. Тогда: [latex] \frac{3}{a}= \frac{b}{3}[/latex] Запишем систему уравнений: [latex] \left \{ {{5= \frac{a+b}{2}} \atop { \frac{3}{a}= \frac{b}{3}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {a+b=10} \atop { ab=9}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {a=10-b} \atop { b*(10-b)=9}} \right. [/latex] [latex]\left \{ {a=10-b} \atop { b^{2}-10b+9=0}} \right. [/latex] [latex]b^{2}-10b+9=0, D=100-36=64[/latex] [latex]b_{1}= \frac{10-8}{2}=1[/latex] [latex]b_{2}= \frac{10+8}{2}=9[/latex] [latex]a_{1}=10-1=9[/latex] [latex]a_{2}=10-9=1[/latex] 9, 5, 1 - арифметическая прогрессия, d=5-9=1-5=-4 9, 3, 1 - геометрическая прогрессия, q=3/9=1/3 Искомое 2-значное число 91 1, 5, 9 - арифметическая прогрессия, d=5-1=9-5=4 1, 3, 9 - не является геометрической прогрессией, q=3/1=9/3 Искомое 2-значное число 19 Ответ: 91 и 19