У прямокутному трикутнику перпендикуляр проведений із вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 16 см. Точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 13 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площи...

Легко понять, что, если соединить точку пространства со всеми тремя сторонами перпендикулярами и спроектировать это всё чудо на площадь треугольника, то точка спроектируется в центр вписанной окружности, а отрезки — в её радиусы. Поэтому для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно всего лишь найти этот радиус. Гипотенуза треугольника равна 25 см. Далее, известный факт, что высота [latex]AH[/latex], проведённая к гипотенузе [latex]BC[/latex], может быть вычислена, как [latex]AH = \sqrt{BH\cdot CH}[/latex]. Отсюда получаем [latex]AH = \sqrt{16 \cdot 9} = 12[/latex] Найдём периметр из теоремы Пифагора: [latex]P = 25 + \sqrt{144 + 81} + \sqrt{144 + 256} = 25 + 15 + 20 = 60[/latex] радиус окружности: [latex]r = \dfrac{S}{\frac{1}{2}P} = \dfrac{AH \cdot BC}{30} = \dfrac{12 \cdot 25}{30} = 10.[/latex] [latex]d = \sqrt{13^2 - 10^2} = \sqrt{69}.[/latex] Ответ: [latex]\sqrt{69}[/latex] PS Доказательство формулы [latex]AH = \sqrt{BH\cdot CH}[/latex]: [latex]\mathrm{tg} \: B = \dfrac{AH}{BH}[/latex] [latex]\mathrm{ctg} \: C = \dfrac{CH}{AH}[/latex] [latex]B = 90^\circ - C[/latex] [latex]\mathrm{ctg} \: B = \mathrm{ctg} \: (90^\circ - A) = \mathrm{tg} \: A[/latex] [latex]\dfrac{AH}{BH} = \dfrac{CH}{AH}[/latex] [latex]AH^2 = BH \cdot CH[/latex]