У трапеции АВСД основание АД в 4 раза больше основания ВС, а площадь трапеции 50. Точка О — точка пересечения диагоналей, точка Р — середина основания АД, М — точка пересечения АС и ВР, точка N — точка пересечения ВД и СР. На...
У
трапеции АВСД основание АД в 4 раза больше основания ВС, а площадь
трапеции 50. Точка О — точка пересечения диагоналей, точка Р — середина
основания АД, М — точка пересечения АС и ВР, точка N — точка пересечения
ВД и СР. Найти площадь треугольника МNО.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
ГостьПусть F - точка пересечения АВ и DM, G - точка пересечения AN и CD, К - точка пересечения продолжения AD c прямой CК II BD;
Для треугольника ABD AO, BP DF - чевианы, и BO/OD = BC/AD = 1/4;
AF*BO*DP/(FB*OD*AP) = 1; AF/FB = 4; (это можно сразу заметить - ВР - медиана ABD, поэтому FO должно быть параллельно AD... докажите, полезно!)
По теореме Ван-Обеля AM/MO = AF/FB + AP/PD = 4 + 1 = 5;
MO = AO/6 = (1/6)*(4/5)AC = (2/15)*AC;
Точно также из треугольника ACD получается NO = (2/15)*BD;
По построению, CE II BD, то есть треугольник ACK подобен треугольнику MON, коэффициент подобия равен 2/15.
Поскольку BDKC – параллелограмм, AK = AD + BC, и площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции.
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 8/9;
ГостьРисунок смотри во вложении.
Решение:
Так как треугольники ВОС и АОД подобны и ВС = АД/4, то ВО = ОД/4 и ОС = АО/4.
Так как тр-ки ВМС и АМР подобны и ВС = АР/2, то МС = АМ/2.
Аналогично, из подобия тр-ов ВNC и PND получим: BN = ND/2.
Все эти соотношения помогут понять, какую часть диагонали АС составляет отрезок МО и какую часть диагонали ВД составляет отрезок ON.
Итак пройдемся по диагонали АС, используя полученные пропорции:
АМ = 2МС = 2(МО+ОС) = 2МО + 2ОС
АО = 4ОС или АМ + МО = 4ОС
Подставим выражение для АМ из первого соотношения и получим:
2МО + 2ОС + МО = 4ОС, или 3МО = 2ОС, но так как ОС = АС/4, получим окончательно:
ОМ = АС/6
Аналогично для диагонали ВД и отрезка ON:
ON = ВД/6
Площадь MON = (1/2)MO*ON*sina = (1/36)*(1/2)AC*BD*sina = (1/36)Sabcd = 50/36= 25/18
Здесь мы воспользовались формулой площади тр-ка через две стороны и угол между ними, а затем формулой площади любого выпуклого 4-ника через произведение диагоналей и синуса угла между ними.
Ответ: 25/18
Не нашли ответ?
Похожие вопросы