У трапеции сумма углов при основании равно r боковые стороны равны a и b а отношение большего основания к меньшему равно n найти площадь трапеции

Удобно воспользоваться  Замечательным свойством трапеций . Пусть дана трапеция [latex] ABCD[/latex], с боковыми ребрами  [latex]AB;CD[/latex] , по  условию они равны [latex]a;b[/latex]  .  Продолжим боковые стороны до пересечения между собой . Обозначим вершину образовавшегося треугольника  [latex]E[/latex]     .   Для дальнейших операций обозначим так же  [latex]BE=x\\ EC=y[/latex] Получим треугольник  [latex]BEC[/latex] который подобен треугольнику [latex]AED[/latex] . Площадь треугольника  [latex]S_{BEC}=\frac{xy*sinr}{2}[/latex]  Площадь треугольника   [latex]S_{AED}=\frac{(x+a)(y+b)*sinr}{2} [/latex] Если отношение основании этих треугольников равна [latex]n[/latex] , то площадей равна   [latex] \frac{S_{AED}}{S_{BEC}} = n^2\\ \frac{xy+ay+bx+ab}{xy}=n^2[/latex]  Заметим так же что стороны этих треугольников связаны между собой отношениями     [latex]bx=ay [/latex] это следует так же из подобия  .   Выразим [latex]x=\frac{ay}{b}[/latex]    Подставим   [latex]xy+2ay+ab=n^2xy\\ \frac{ay^2}{b}+2ay+ab = n^2*\frac{ay^2}{b}\\ 2ay+ab=\frac{ay^2}{b}(n^2-1)\\ 2y+b=\frac{y^2}{b}(n^2-1)\\ [/latex] решим как квадратное уравнение относительно переменной   [latex]2yb+b^2=y^2(n^2-1) \\ y^2(n^2-1)-2yb-b^2=0\\ D=4b^2+4(n^2-1)b=\sqrt{4b^2n^2} \geq 0\\ y=\frac{2b+2bn}{2(n^2-1)}=\frac{b}{n-1}\\ x=\frac{a*\frac{b}{n-1}}{b}=\frac{a}{n-1}\\ S_{ABCD}=\frac{sinr(ay+bx+ab)}{2}=\frac{sinr(ab+\frac{2ab}{n-1})}{2}[/latex]