Уравнение движения груза x=x(t) (x- в см, t - в секундах) 5+40t^2. Радиус (в см) R2=30,r2=20;R1=50,r1=35.Пользуясь иллюстрацией за данным уравнением прямолинейного движения груза определите скорость и ускорение точки М механизм...

[latex] x(t) = 5 [ {_{CM}} ] + 40 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t^2 [/latex] ; [latex] l_{r2} (t) = \frac{r_2}{R_2} x(t) [/latex] – уравнение движения произвольной точки малого обода левого колеса вдоль самого обода. [latex] l_{R1} (t) = l_{r2} (t) = \frac{r_2}{R_2} x(t) [/latex] – уравнение движения произвольной точки большого обода правого колеса вдоль самого обода. [latex] l_{r1} (t) = \frac{r_1}{R_1} l_{R1} (t) = \frac{r_1}{R_1} \frac{r_2}{R_2} x(t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} x(t) [/latex] – уравнение движения произвольной точки малого обода правого колеса вдоль самого обода, т.е. это и есть уравнение движения точки M в полярной системе, вдоль окружности обода. Итак: [latex] l_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} x(t) [/latex] ; [latex] l_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} ( 5 [ {_{CM}} ] + 40 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t^2 ) [/latex] ; Продифференцировав это выражение, мы и найдём скорость и тангенциальное ускорение: [latex] v_M (t) = l'_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} ( 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t ) [/latex] ; (I) [latex] a_\tau (t) = l''_M (t) = 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} [/latex] ; Нормальное ускорение можно найти из кинематики вращения: [latex] a_n (t) = \frac{ v_M^2 (t) }{ r_1 } = ( \frac{ 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] r_2 t }{ R_1 R_2} )^2 r_1 = 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} \frac{ 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } [/latex] ; [latex] a_n (t) = \frac{ 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } a_\tau (t) [/latex] ; [latex] \frac{ a_n (t) }{ a_\tau (t) } = \frac{ 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } [/latex] ; [latex] a_M (t) = \sqrt{ a_\tau^2 + a_n^2 } = a_\tau \sqrt{ 1 + ( \frac{ a_n }{ a_\tau } )^2 } = 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} \sqrt{ 1 + ( \frac{ 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } )^2 } [/latex] ; (II) [latex] S = 5 [ {_{CM}} ] + 40 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] t^2 [/latex] ; Из условия для времени движения, найдём t : [latex] t^2 = \frac{ S - 5 [ {_{CM}} ] }{ 40 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] } = \frac{ S / [ {_{CM}} ] - 5 }{ 40 } [c^2] [/latex] ; [latex] t = \frac{ [c] }{2} \sqrt{ \frac{ S / [ {_{CM}} ] - 5 }{ 10 } } [/latex] ; Подставим это в выражения скорости (I) и ускорения (II): [latex] v_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} ( 4 [ \frac{_{CM}}{c} ] \sqrt{ 10 ( S / [ {_{CM}} ] - 5 ) } ) [/latex] ; (I*) [latex] a_M (t) = 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} \sqrt{ 1 + ( \frac{ ( 2S - 10 [ {_{CM}} ] ) r_2 }{ R_1 R_2 } )^2 } [/latex] ; (II*) Вот и всё. Остался только арифметический расчёт. В результате скорость в см/с должна получиться близкой к числу, равному пятой степени двойки, а ускорение, выраженное в см/с^2 должно получиться числом, совпадающим со вторым годом после окончания II-ой Мировой Войны. ||||| ВТОРОЙ СПОСОБ (более техничный) ||||| Обозначим: [latex] x_o = 5 [ {_{CM}} ] [/latex] и [latex] a = 80 [ \frac{_{CM}}{c^2} ] [/latex] ; теперь нигде можно не учитывать размерности, они автоматически учтутся во введённых константах: [latex] x(t) = x_o + \frac{ a t^2 }{2} [/latex] ; [latex] l_{r2} (t) = \frac{r_2}{R_2} x(t) [/latex] – уравнение движения произвольной точки малого обода левого колеса вдоль самого обода. [latex] l_{R1} (t) = l_{r2} (t) = \frac{r_2}{R_2} x(t) [/latex] – уравнение движения произвольной точки большого обода правого колеса вдоль самого обода. [latex] l_{r1} (t) = \frac{r_1}{R_1} l_{R1} (t) = \frac{r_1}{R_1} \frac{r_2}{R_2} x(t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} x(t) [/latex] – уравнение движения произвольной точки малого обода правого колеса вдоль самого обода, т.е. это и есть уравнение движения точки M в полярной системе, вдоль окружности обода. Итак: [latex] l_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} x(t) [/latex] ; [latex] l_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} ( x_o + \frac{ a t^2 }{2} ) [/latex] ; Продифференцировав это выражение, мы и найдём скорость и тангенциальное ускорение: [latex] v_M (t) = l'_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} a t [/latex] ; (I) [latex] a_\tau (t) = l''_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2 } a [/latex] ; Нормальное ускорение можно найти из кинематики вращения: [latex] a_n (t) = \frac{ v_M^2 (t) }{ r_1 } = ( \frac{ a r_2 t }{ R_1 R_2} )^2 r_1 = ( \frac{ a t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } ) \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} a [/latex] ; [latex] a_n (t) = \frac{ a t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } a_\tau (t) [/latex] ; [latex] \frac{ a_n (t) }{ a_\tau (t) } = \frac{ a t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } [/latex] ; [latex] a_M (t) = \sqrt{ a_\tau^2 + a_n^2 } = a_\tau \sqrt{ 1 + ( \frac{ a_n }{ a_\tau } )^2 } = a \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} \sqrt{ 1 + ( \frac{ a t^2 r_2 }{ R_1 R_2 } )^2 } [/latex] ; (II) [latex] S = x_o + \frac{ a t^2 }{2} [/latex] ; Из условия для времени движения, найдём t : [latex] a t^2 = 2 ( S - x_o ) [/latex] ; [latex] t = \sqrt{ 2 \frac{ S - x_o }{a} } [/latex] ; Подставим это в выражения скорости (I) и ускорения (II): [latex] v_M (t) = \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} ( \sqrt{ 2 a ( S - x_o ) } ) [/latex] ; (I*) [latex] a_M (t) = a \frac{ r_1 r_2 }{ R_1 R_2} \sqrt{ 1 + ( \frac{ 2 ( S - x_o ) r_2 }{ R_1 R_2 } )^2 } [/latex] ; (II*) Арифметический расчёт и в этом случае, разумеется, даст те же результаты. Но сами формулы, не содержащие единиц измерения, выглядят более компактно.