Уравнение |х во второй степени - 4х-1|= а имеют четыре различных корня, если

уравнение |x²-4x-1|=a имеет четыре различных корня, если Решение: Уравнение имеет решение если значение параметра а больше нуля а>0, при а<0 уравнение не имеет смысла.   Для правильного решения уравнения необходимо представить левую и правую часть уравнения на координатной плоскости. у = x²-4x-1 - уравнение параболы ветви которой направлены вверх D =4²+4=20>0 Следовательно парабола пересекает ось Ox в двух точках Для функции у =|x²-4x-1| часть параболы под осью Ох зеркально отобразится вверх над осью Ох. Уравнение y=a является прямой параллельной  оси Ох. Следовательно для пересечения этой прямой функции у =|x²-4x-1| необходимо , чтобы локальный максимум (вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| был выше прямой y=a. Найдем координаты вершины параболы. Парабола у = x²-4x-1 имеет минимум в точке х =-b/(2a) = 4/2 = 2 Подставим это значение в уравнение параболы  y = 2² - 4*2 -1 =4-8-1 =-5 Локальный максимум(вершина параболы) функции у =|x²-4x-1|  равен y=|-5| =5 Следовательно уравнение имеет четыре решения если а∈(0;5) Ответ:(0;5)  

можно и так [latex]|x^2-4x-1|=a[/latex]  (1)   во первых a>0  (2) Далее  уравнение (1) "распадается" на два [latex]x^2-4x-1=a[/latex]  (3) [latex]x^2-4x-1=-a[/latex]  (4) При этом должно быть выполнено (2) Рассмотрим уравнение (3). [latex]x^2-4x-1=a[/latex]  [latex]x^2-4x-1-a=0[/latex] Если (обозначим 1+a=с) Получим [latex]x^2-4x-c=0[/latex]  (5) (5) Обычное квадратное уравнение оно будет иметь два различных вещественных корня, если его дискриминант будет больше 0. Т.е. [latex]4^2-4*1*(-c)=16+4c\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]16+4c\ \textgreater \ 0 \newline 4c\ \textgreater \ -16 \newline c\ \textgreater \ -16/4=-4 \newline a+1\ \textgreater \ -4[/latex] [latex]a\ \textgreater \ -5[/latex]    (6) Аналогично из уравнения 4 получаем: [latex]x^2-4x-1=-a \newline x^2-4x-1+a=0 \newline c=a-1 \newline x^2-4x+c=0 \newline D=16-4c\ \textgreater \ 0 \newline \newline 16-4c\ \textgreater \ 0 \newline -4c\ \textgreater \ -16 c\ \textless \ 4 \newline a-1\ \textless \ 4 \newline a\ \textless \ 5[/latex] a<5  (7) Это еще два корня Итого 4 корня [latex]x_{1,2}= \frac{4 \pm \sqrt{16+4(1+a)} }{2} =2\pm \frac{2 \cdot \sqrt{4+(1+a)} }{2} =2\pm \sqrt{5+a} \newline \newline x_{3,4}= \frac{4 \pm \sqrt{16-4(a-1)} }{2} =2 \pm \frac{2\cdot \sqrt{4+1-a} }{2} =2\pm \sqrt{5-a} [/latex] Находя пересечение интервалов (2), (6), (7), получаем 0