Уравнение x^2 – 2y^2 = 1, где x и у являются простыми числами. Найдите х + у

[latex]x^2-1=2y^2[/latex] [latex]3^2 - 2*2^2 = 1[/latex] [latex]x+y=5[/latex]

 [latex] x^2-2y^2=1\\ [/latex]  [latex] x^2+2xy+y^2-2xy-3y^2=1\\ x+y=\sqrt{1+2xy+3y^2}\\ x+y=\sqrt{1+y(2(x+y)+y)}\\ x+y=t\\ t=\sqrt{1+y(2t+y)} [/latex]   [latex]t[/latex] [latex]t=\sqrt{1+y(2t+y)}\\ t^2=1+2ty+y^2\\ y=\sqrt{2t^2-1}-t\\ [/latex]  Заметим        [latex]t[/latex]  число четное , кроме [latex]1;2;3[/latex]  [latex] t=2n\\ y=\sqrt{8n^2-1}-2n[/latex], число [latex]8n^2-1[/latex] оканчивается на [latex]1;7;9[/latex] ,  но среди таких чисел нет целого числа ,    осталось три варианта  и они   [latex]x=3\\ y=2\\ 3+2=5 [/latex]