Уравнение[latex] \frac{x-49}{50} + \frac{x-50}{49} = \frac{49}{x-50} + \frac{50}{x-49} [/latex]

[latex] \frac{x-49}{50} + \frac{x-50}{49} = \frac{49}{x-50}+ \frac{50}{x-49} [/latex] [latex]\frac{49(x-49)+50(x-50)}{50*49} = \frac{49(x-49)+50(x-50)}{(x-50)*(x-49)}[/latex] [latex]\frac{49x-49^2+50x-50^2}{50*49} = \frac{49x-49^2+50x-50^2}{(x-50)*(x-49)}[/latex] [latex]\frac{99x-49^2-50^2}{50*49} = \frac{99x-49^2-50^2}{(x-50)*(x-49)}[/latex] [latex](99x-49^2-50^2)*[\frac{1}{50*49} - \frac{1}{(x-50)*(x-49)}]=0[/latex] данное уравнение равносильно совокупности системы и уравнения: рассмотрим сначала систему: [latex] \left \{ {{99x-49^2-50^2=0} \atop {x \neq 49,and,x \neq 50}} \right.; \left \{ {{99x=4901} \atop {x \neq 49,and,x \neq 50}} \right.; \left \{ {{x= \frac{4901}{99} } \atop {x \neq 49,and,x \neq 50}} \right.; x= \frac{4901}{99}[/latex] получили, что число [latex]\frac{4901}{99}[/latex] - корень исходного уравнения рассмотрим теперь уравнение из совокупности: [latex]\frac{1}{50*49} - \frac{1}{(x-50)*(x-49)}=0[/latex] [latex]\frac{(x-50)(x-49)-50*49}{50*49*(x-50)*(x-49)}=0[/latex] [latex]\frac{x^2-50x-49x+50*49-50*49}{(x-50)*(x-49)}=0[/latex] [latex]\frac{x^2-99x}{(x-50)*(x-49)}=0[/latex] [latex]\frac{x(x-99)}{(x-50)*(x-49)}=0[/latex] [latex] \left \{ {{x(x-99)=0} \atop {(x-50)*(x-49) \neq 0}} \right. ; \left \{ {{x=0,or,x=99} \atop {x \neq 50,and,x \neq 49}} \right. [/latex] [latex]x=0,or,x=99[/latex] получили, что числа [latex]0[/latex] и [latex]99[/latex] также являются корнями исходного уравнения Ответ: [latex]0;99; \frac{4901}{99} [/latex]