В четырехугольник,стороны которого 4,3,2,1, вписана окружность и около него описана окружность.Найдите меньшую диагональ четырехугольника

Четырехугольник описанный вокруг окружанности тогда и только тогда когда суммы противоположных его сторон равны, так как очевидно 2+3=1+4 то  2 и3, 1 и 4 - пары противоположны сторон Пусть не ограничивая общности a=1,b=2,c=4, d=3 Так как четырехугольник описанный - он выпуклый. По первой и второй теореме Птолемея для вписанного четырехугольника [latex]ef=ac+bd=1*4+2*3=4+6=10[/latex] [latex]\frac{e}{f}=\frac{ab+dc}{ad+bc}=\frac{1*2+3*4}{1*3+2*4}=\frac{14}{9}[/latex] [latex]e=\frac{14}{9}f[/latex] [latex]f=\frac{9}{14}e[/latex] - меньшая диагональ [latex]\frac{9}{14}f^2=10[/latex] [latex]f^2=\frac{140}{9}[/latex] [latex]f>0; f=\frac{2}{3}\sqrt{35}[/latex]