В эллипс x^2/128 + y^2/32=1 вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти стороны этого прямоугольника, если они параллельны осям

Выразим уравнение эллипса относительно у: [latex]x^2+4y^2=128[/latex] Отсюда [latex]y=+- \sqrt{ \frac{-x^2}{4}+32 } = \frac{+- \sqrt{128-x^2} }{2} [/latex]. Если стороны прямоугольника  параллельны осям, то его стороны разбиваются осями пополам.Рассмотрим максимальную площадь в 1 четверти (в положительных значениях). [latex]S=x*y= \frac{x \sqrt{128-x^2} }{2} .[/latex] Для определения максимума этой функции найдём её производную и приравняем нулю. [latex]y'= \frac{64-x^2}{ \sqrt{128-x^2} } .[/latex] Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. 64 - х² = 0 х = √64 = 8. [latex]y= \frac{ \sqrt{128-8^2} }{2} = \frac{ \sqrt{64} }{2} = \frac{8}{2} =4.[/latex] Ответ: стороны прямоугольника, вписанного в заданный эллипс. равны 16 и 8.