В геометрической прогрессии {an} с положительными членами a2=8,a4=72.найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии

a₂=8     a₄=72   S₅-? a₂=a₁*q                  Разделим второемуравнение на первое: a₄=a₁*q³                 (a₁*q³/a₁*q)=72/8   q²=9   q=3    a₁=8/3 S= 8/3*(1-3⁵)/(1-3)=8/3*(-242)/(-2)==8/3*121=968/3=322²/3.

так как [latex]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}[/latex], то составим систему [latex] \left \{ {{8=a_{1}*q} \atop {72=a_{1}*q^{3}}} \right. \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{q}} \atop {72=a_{1}*q^3}} \right. [/latex] Подставим во второе уравнение первое и отдельно его решим [latex]72=\frac{8}{q}*q^3\\\\72=\frac{8q^3}{q}\\\\72=8q^2|:8\\9=q^2\\q=\sqrt{9}\\q=+-3[/latex] вернемся в систему, которая распадается на две [latex]1. \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{q}} \atop {q=3}} \right. \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{3}} \atop {q=3}} \right. \\2, \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{q}} \atop {q=-3}} \right. \left \{ {{a_{1}=-\frac{8}{3}} \atop {q=-3}} \right. [/latex] Теперь найдем сумму первых пяти членов при [latex]a_{1}=\frac{8}{3}\\q=3[/latex] [latex]S_{5}=\frac{\frac{8}{3}(1-3^5)}{1-3}=\frac{\frac{8}{3}(1-243)}{-2}=\frac{\frac{-1936}{3}}{-2}=\frac{1936}{3*2}=\frac{968}{3}=322\frac{2}{3}[/latex] при [latex]a_{1}=-\frac{8}{3}\\q=-3[/latex] [latex]S_{5}=\frac{\frac{-8}{3}(1-(-3)^5)}{1-(-3)}=\frac{\frac{-8}{3}(1+243)}{4}=\frac{\frac{-1952}{3}}{4}=\frac{-1952}{3*4}=\frac{-488}{3}=-162\frac{2}{3}[/latex] Ответ:[latex]S_{5}=322\frac{2}{3} \\S_{5}=-162\frac{2}{3}[/latex]