В каких случаях пишется playing, а в каких plays

Playing пишется в Present Continuous, а plays в Present Simple у 3 лица.

plays пишется present simple с местоимениями he, she, it и с существит. в единств. числе. Например: He usually plays football. This chess computer plays well.  ing-овое окончание присуще глаголам стоящим в любых continuous, а также герундию