В конус вписан цилиндр Так что нижнее основание лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72. Найти: 1) объем цилиндра, верхнее основание которого дел...

Вот рисунок. Дано: Объем конуса V(кон) = 72; Высота цилиндра O1O2 = O2S = h = H/2 1) Найти объем цилиндра V(цил) Объем конуса V(кон) = 1/3*pi*R^2*H = 72 Отсюда pi*R^2*H = 72*3 = 216 Так как конус с основанием CO2D подобен конусу с основанием AO1B с коэффициентом подобия H/h = 2, то r = R/2. Объем цилиндра V(цил) = pi*r^2*h = pi*(R/2)^2*(H/2) = 1/8*pi*R^2*H = 1/8*216 = 27 2) Найти объем наибольшего такого цилиндра. На 2 рисунке обозначены синим цветом два цилиндра в крайних положениях. В обоих случаях объем цилиндра близок к 0. Черным обозначено какое-то среднее положение, при котором объем цилиндра максимален. У конуса угол наклона образующей tg α = H/R. У верхнего конуса тоже tg α = (H - h)/r = H/R. Значит, у цилиндра H - h = r*H/R; отсюда h = H - H*r/R = H*(R - r)/R Объем цилиндра V(цил) = pi*r^2*h = pi*H/R*r^2*(R - r) = pi*H*r^2 - pi*H/R*r^3 -> max Объем будет максимален, когда его производная будет равна 0 V'(цил) = 2pi*H*r - 3pi*H/R*r^2 = pi*H*r*(2 - 3*r/R) = 0 Отсюда 2 - 3*r/R = 0; r = 2/3*R; h = H*(R - 2/3*R)/R = H*1/3 = H/3 V = pi*r^2*h = pi*4/9*R^2*H/3 = 4/27*pi*R^2*H = 4/27*216 = 4*8 = 32