В квадрат 1 на 1 бросили 51 точку. докажите что найдётся прямоугольник со сторонами 1

Замостим квадрат этими прямоугольниками. Т.к. сторона 1/5 помещается ровно 5 раз в стороне квадрата, а сторона 3/13 укладывается 13/3=4 целых и 1/3 раза, то весь квадрат разобьется на 4*5=20 полных прямоугольников и еще 5 прямоугольных кусков. Всего 25 прямоугольников. По принципу ящиков Дирихле, существует прямоугольник в который попало как минимум 3 точки (иначе во всех ящиках было бы не более чем 25*2=50 точек, а у нас их 51).