. В математической олимпиаде участвовал 21 из 25 учащихся класса, в олимпиаде по информатике – 18, а по физике – 16. Какое наименьшее количество учащихся класса могли принять участие во всех трёх этих олимпиадах?

 Положим что в олимпиаде по информатике и математике принимали [latex] x [/latex] участников , в олимпиаде по информатике и физике [latex] y [/latex] , по олимпиаде по математике и физике [latex] z [/latex]     Положим что во всех трех олимпиадах участвовало  [latex] a [/latex] участников               только по математике [latex] 21-(x-a)-(z-a)-a = 21 - (x+z)+a[/latex]                  только по информатике [latex] 18- (x+y)+a [/latex]  только по физике [latex] 16-(y+z)+a[/latex]   Тогда в сумме     [latex] 55-(x+z)-(x+y)-(y+z)+3a+ x-a+y-a+z-a+a = 25 \\[/latex]  [latex] x+y+z\ \textgreater \ 3a \\ 55-(x+z)-(x+y)-(y+z)+3a+ x-a+y-a+z-a+a = 25 \\ x+y+z-a=30 \\ 55+3a\ \textgreater \ 2*(x+y+z)[/latex]                              Откуда [latex] 5\ \textless \ a\ \textless \ 15[/latex]  Ответ [latex] a=5[/latex]     Так как возможны случаи когда какие то участники  олимпиады равны по количеству