В матрице размером (19,5) 2 элементa равны единице, а все остальные равны 0. Ненулевые элементы расположены так, что в каждой строке и каждом столбце не более одного ненулевого элемента. Чему равен ранг матрицы?

Пусть [latex]r_i[/latex] строка [latex]i[/latex] данной матрицы, содержащая ненулевой элемент, и пусть [latex]1=a_{i,k}[/latex]. Нам дано: если [latex]a_{i,k}=0[/latex], то 1) остальные элементы в строке [latex]r_i[/latex] равны нулю, 2) элементы в столбце [latex]v_k[/latex]равны нулю. [latex]r_i[/latex] не может содержать больше одного ненулевого элемента, следовательно есть ещё одна строка [latex]r_j[/latex], содержащая второй ненулевой элемент. Пусть [latex]a_{j,l}=1[/latex]. Из (2) следует, что [latex]k\neq l[/latex] ([latex]a_{i,k}[/latex] и [latex]a_{j,l}[/latex] не находятся в одном столбце). Предположение: [latex]r_i[/latex] и [latex]r_j[/latex] - линейно независимы (докажем это и получим ранг не меньше двух) Доказательство: Предположим, что зависимы. Тогда существует такой скаляр [latex]\lambda[/latex], что [latex]r_i=\lambda r_j[/latex], в частности: [latex] \left \{ {{a_{i,k}=\lambda a_{j,k} \atop {a_{i,l}=\lambda a_{j,l}}} \right. \ \Rightarrow\ \left \{ {{1=\lambda \cdot0} \atop {0=\lambda\cdot1}} \right. [/latex] Получили противоречие (нет такого скаляра, который выполнит систему), значит [latex]r_i[/latex] и [latex]r_j[/latex] - линейно независимы. Отсюда: [latex]rank(A)\geq2[/latex] Ненулевых элементов матрицы всего два, потому остальные строки матрицы содержат только нули. Отсюда [latex]rank(A)\leq2[/latex]. Итого: [latex]rank(A)=2[/latex]. Других вариантов для матрицы [latex]A[/latex] нет.