В окружность вписан четырёхугольник ABCD со сторонами: AB=a, BC=b, CD=c, AD=d Доказать, что 1) его площадь S=[latex] \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} [/latex], где p=[latex] \frac{1}{2} [/latex](a+b+c+d) 2) если указанный четырёхуг...

Пусть   ABCD   вписанный  четырехугольник  ,AB=a,BC=b , CD =c ,DA=d. Проведем диагональ AC.  S= S(ABCD) = S(ABC) +S(ADC) =(1/2)absinB + (1/2)cdsinD= (1/2)absinB + (1/2)cdsin(180° -∠B)=(1/2)absinB + (1/2)cdsin∠B=(1/2)(ab + cd)sin∠B.  * * * ∠D +∠B =180° , sin∠D =sin(180° -∠B) =sin∠B ; cos∠D = - cos∠B   * * *   Из треугольника ABC  по теореме косинусов : AC² =a² +b² -2abcos∠B .   (1) Аналогично  из треугольника ADC :  AC²= c²+d² -2cdcos∠D ; AC²=c²+d² +2cdcos∠B .     (2) Из уравнений (1) и (2) получаем  : a² +b² -2abcos∠B = c²+d² +2cdcos∠B ⇒ cos∠B = (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd) . sin²∠B =1- cos²∠B =1- ((a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))² = (1- (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))(1+ (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))= ((c+d)² -(a-b)²)/2(ab+cd))((a+b)² -(c-d)²)/2(ab+cd)) = (c+d +b-a)(c+d +a-b)(a+b+d -c) (a+b+c -d)/ (2(ab+cd))² = || p = (a+b+c+d)/2|| = (2p -2a)(2p -2b)(2p-2c)(2p-2d) / (2(ab+cd))² =4(p -a)(p -b)(p-c)(p-d) / (ab+cd)² . sin∠B =2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) . следовательно :  S =(1/2)(ab + cd)sin∠B =(1/2)(ab + cd)*2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) = √((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)). -------------------------------- 2. Если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности ,то : b+d= a+c (сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны). p-c = (a+b+c+d)/2 - c =a+c -c =a ;  * * * замена b+d = a+c  * * *  p-d = (a+b+c+d)/2 - d =b+d -d=b ;  * * * замена  a+c=b+d   * * * p-a = (a+b+c+d)/2 - a =a+c -a =c ;  * * * замена b+d = a+c  * * * p-b = (a+b+c+d)/2 - b =b+d -b=d .  * * * замена  a+c=b+d   * * * S =√(abcd) .

доказательство смотри в  приложении