В основании прямой призмы лежит параллелограмм со сторонами 3см и 5см. Найдите объём призмы, если ее диагонали равны 8см и 10см.

Пусть первая диагональ параллелограмма равна x, вторая — y, а высота призмы — z. x² + y² = 2(3² + 5²) = 2(9 + 25) = 2(34) = 68. 8² = x² + z², 10² = y² + z². Имеем систему из трёх уравнений x² + y² = 68, x² + z² = 64 и y² + z² = 100. (x, y, z) = (4, 2√(13), 4√3) в положительных числах. Против большей стороны лежит больший угол, значит, напротив диагонали x = 4 см лежит острый угол параллелограмма. По теореме косинусов 16 = 9 + 25 – 30cos(a) ⇒ cos(a) = 3/5 ⇒ sin(a) 4/5.  S(осн) = 3(5)sin(a) = 3(5)(4) = 60 см². V = zS(осн) = 4√3(60) = 240√3 см³. Ответ: 240√3.