В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BB1 . Из точки B1 проведены перпендикуляры B1K и B1L к сторонам AB и , BC соответственно. Известно, что BB1 равно 1, а радиус описанной около треугольника ABC окружности равен ...

Легко видеть, что  AB*cos(∠ABB1) = BB1; BK = BB1*cos(∠ABB1); то есть BK = AB*(cos(∠ABB1))^2 = AB*(sin(A))^2; A - это ∠BAC; аналогично BL = BC*(sin(C))^2; то есть BK/BL = AB*(sin(A))^2/BC*(sin(C))^2 = (BC/AB)*((AB/sin(C))/(BC/sin(A)))^2 = BC/AB; вследствие теоремы синусов. "Под квадратом" стоит просто единица.  Полученное равенство означает, что треугольники ABC и LBK подобны - у них общий угол B и стороны этого угла пропорциональны. (В таких случаях применяется термин AC  и KL антипараллельны) C другой стороны, четырехугольник LBKB1 имеет два противоположных прямых угла, то есть он вписан в окружность с диаметром BB1; то есть диаметр окружности, описанной вокруг треугольника LBK, равен 1; Диаметр окружности, описанной вокруг ABC, равен 8; Соответственные стороны относятся так же, как диаметры, то есть KL/AC = 1/8; Ответ есть, но я не уверен, что такое вообще возможно для остроугольного треугольника, по-моему, 1/8 - это маловато будет... требует дополнительного исследования. Скажем, если AB = BC, то такой ответ заведомо требует, чтобы угол B был тупой. Вопрос такой - существует ли какой-то остроугольный - как это задано в условии, треугольник, в котором получится KL/AC = 1/8; как это следует из условия же...