В правильном треугольника взята точка, удалённая от его вершин на 3,4 и 5 единиц. Чему равна сторона треугольника?

Если соединить заданную точку с вершинами треугольника, то получим 3 треугольника с боковыми сторонами 3, 4 и 5 и с равными основаниями. По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине. а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω. Поэтому добавляем четвёртое уравнение: α + β + ω = 2π. Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:                  α градус   α радиан  cos α            a² =           a = 25   24   150.0020    2.6180     -0.8660     45.7850      6.7665 41   40    96.8676     1.6907     -0.1196      45.7830      6.7663 34   30     113.1304     1.9745  -0.3928      45.7848      6.7664. С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.