В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной  Р и объемом 48 проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает ребро SA в точке К, а боковое ребро SB в точке L, причем SK=1/2 SA, SL=1/3 SB. Найдите...

Первое. Прямые BN и KL - скрещивающиеся (по определению: две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными называются скрещивающимися). Надо провести плоскость через прямую KL, параллельную прямой BN. Для этого надо через точку L провести прямую LM, параллельную BN. Тогда прямые KL и LM определяют нужную нам плоскость сечения.  Проведем прямую SN (апофему грани ASC). Прямая LM пересекает SN в точке M, так как LM и BN лежат в одной плоскости NSB. Продолжим КМ до пересечения с SC в точке Q. Плоскость KLQ - плоскость искомого сечения. Теперь надо найти объем пирамиды SКLQ, вычесть его из объема пирамиды SABC (48) и получим ответ. Известно, что объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся как произведения длин ребер, образующих эти углы. Наша пирамида правильная, значит трехгранные углы при вершине S равны. Докажем правильность данного выше утверждения для нашего случая. Проведем высоты LH и BH1 в пирамидах  LKSQ и ВASC. LH и BH1 параллельны и лежат в одной плоскости SBN (так как они опущены на апофему SN). Треугольники SHL и SH1B подобны и LH/BH1=SL/SB, угол KSQ равен углу ASC и равен α. Тогда объем пирамиды  LKSQ относится к объему пирамиды ВASC: Vlksq/Vbasc = (1/3)*LH*Sksq/(1/3)*BH1*Sasc = (SL/SB)*[(KS*SQ*sinα)/(AS*SC*sinα)] = (SL*KS*SQ)/(SB*AS*SC), что и требовалось доказать. Осталось найти SQ. Соединим К и N. KN - средняя линия треугольника ASC (так как AN=NC и AK=KS - дано). KN параллельна SC. Треугольник SMQ подобен треугольнику NMK по двум углам: