В прямоугольном неравнобедренном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведены высота СН, медиана СМ и биссектриса СL. а) Докажите, что CL является биссектрисой угла МСН. б) Найдите длину биссектрисы CL, если СН=3, СМ=5

1) Пусть катет AC>BC Медиана в прямоугольном тр-ке является радиусом описанной окружности⇒ CM=AM=BM⇒Тр-ник CMB - равнобедренный⇒угол MBC равен углу MCB=α - введем такое обозначение. СH перпенд AB⇒угол CHB равен 90 гр CL - биссектриса⇒угол ACL равен углу BCL=45 гр Найдем углы MCL и LCH и покажем, что они равны Угол LCH =угол BCL - угол BCH Из прямоуг тр-ка CHB угол BCH=90-α⇒ Угол LCH =45-(90-α)=α-45 Угол MCL =угол MCB - угол BCL=α-45⇒ Угол LCH=Угол MCL⇒CL - биссектриса угла МСН 2) Биссектриса делит сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам⇒CM/CH=ML/LH=5/3 Пусть ML=5x; LH=3x⇒MH=8x⇒ Из прямоуг тр-ка MHC имеем: CM^2=CH^2+MH^2⇒9+64x^2=25⇒64x^2=16⇒x^2=1/4⇒x=1/2⇒LH=3/2 CL^2=CH^2+LH^2⇒CL^2=9+9/4=45/4⇒CL=√45/4=3√5/2 Ответ: 3√5/2