В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.

Пусть будет боковая сторона треугольника равна a. Тогда основание будет равно [latex]a \sqrt{2} [/latex] Тогда медиана m будет равна [latex]m = \sqrt{(a/2)^2 + a^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}[/latex] Медианы точкой пересечения  делятся в отношении 1:2. Находим длины отрезков, на которые медиана поделится точкой пересечения медиан: [latex]m_1 = \frac{m}{3} = \frac{a \sqrt{5} }{6} [/latex] [latex]m_2 = \frac{2m}{3} = \frac{a \sqrt{5} }{3} [/latex] Получается, что мы знаем три стороны треугольника, угол которого надо найти. Стороны равны [latex]( \frac{a}{2} , m_1, m_2)[/latex] Искомый угол располагается между [latex]m_1[/latex] и [latex]m_2[/latex]. Его можно найти по теореме косинусов: [latex]( \frac{a}{2} )^2 =m_1^2 + m_2^2 - 2*m_1*m_2*\cos(x)[/latex] Подставляем сюда значения для длин сторон: [latex]a^2/4 = 5a^2/36 + 5a^2/9 - 2a^2/19 * 5 \cos(x)[/latex]  Квадрат стороны [latex]a^{2} [/latex] сокращается, получаем: 1/4 = 5/36 + 5/9 - 2/19 * 5cos(x) 9 = 5 + 20 - 20 cos x 20 cos x = 16 cos x = 4/5 x = arccos(4/5), это примерно 36,87 градусов Ответ: arccos(4/5).