В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что площадь DCB в 3 раза больше площади треугольника ADC.

Пусть катеты равны [latex]z,y[/latex]. Тогда так как  CD высота то следует такие соотношения , высота среднее геометрическое  между отрезками , так как соотношение площадей равны 3:1, то стороны тоже так относятся!  Тогда пусть одна сторона равна х, другая тогда 3х.  [latex] CD=\sqrt{3x*x}=\sqrt{3}x\\ CD=\frac{zy}{x+3x}=\sqrt{3}x\\ zy=4\sqrt{3}x^2\\ z^2+y^2=16x^2\\ \\ y=2x\\ z=2\sqrt{3}x\\ [/latex] Теперь по теореме косинусов найдем углы  [latex]\frac{12x^2-16x^2-4x^2}{-2*2x*4x}=cosB\\ cosB=0.5\\ B=60 [/latex] значит  другой [latex]30[/latex] гр  и того 90 60 30 

раз площади ∆ADC и ∆CDB относятся как 1 :3, то  отрезки AD и DB тоже относятся как 1 :3 AD/DB = 1/3 ∆ACD подобен ∆CDB (высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных)