В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена высота СК. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АСК и ВСК, оказались равны соответственно 7 и 14. Найдте радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. (жела...

Заметьте, из знания ответа можно было бы догадаться, поскольку 7^2 + 14^2 = (7√5)^2; Это сразу очевидно на самом деле, потому что все три треугольника ABC, AKC, BKC подобны, и в треугольниках AKC и BKC роль гипотенуз выполняют катеты треугольника ABC. (То есть a^2 + b^2 = c^2; где a, b, c - ГИПОТЕНУЗЫ треугольников BKC; AKC; ABC) В общем случае в прямоугольном треугольнике r = (a + b - c)/2 = с*(a/c + b/c - 1)/2; в этих трех треугольниках a/c и b/c - одинаковые (обращаю внимание, что a, b, c, означают тут НЕ ТО, то в первом пункте, а просто катеты и гипотенузу любого треугольника) То есть r = k*c; c одним и тем же числом k; (на самом деле это верно для любых подобных треугольников, но в данном случае доказательство не требует никаких усилий). Если собирать оба утверждения вместе, получится r^2 = r1^2 + r2^2;

Пользуемся тем, что в подобных треугольниках соответствующие линейные элементы (т.е. стороны, биссектрисы, высоты и в данном случае радиусы вписанных окружностей) относятся как коэффициент подобия.