В прямоугольном треугольнике АВС угол с=90 град., М-средина АС,N-серидина ВС, угол MNC=45 град. и МN=4корня из 2 см.Найти: а) стороны треугольника авс и длину АNб)площади треугольика СMN и четырех угольника МАВN 

MN- средняя линия в треугольнике АВС, параллельная АС, так как М - середина АС, N - середина ВС. По свойству средней линии AB=2MN=2*4[latex]\sqrt{2}[/latex]=8[latex]\sqrt{2}[/latex] Углы MNC и CMN равны (180-(90+45)=45), углы MNC и АВС равны, как при параллельных прямых MN и АВ и секущей ВС. Углы АВС и САВ равны (180-(90+45)=45). Если синусы и косинусы не проходили, то возьмем СВ=АВ=Х, тогда по теореме Пифагора: [latex]AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}[/latex] [latex](8\sqrt{2})^{2}=x^{2}+x^{2}[/latex] [latex]128=2x^{2}[/latex] [latex]x=\sqrt{128/2}[/latex] x=8 Тогда АС=ВС=8. СN=1/2BC=8/2=4, так как N - середина BC, точно так же МС=4. Из треугольника АСN, где С=90 градусов, CN=4, АС=8, по теореме Пифагора: [latex]AN=\sqrt{CN^{2}+AC^{2}}[/latex] [latex]AN=\sqrt{4^{2}+8^{2}}[/latex] [latex]AN=\sqrt{80}[/latex] [latex]AN=4\sqrt{5}[/latex] Scmn=CN*MN/2=4*4/2=8 Sabc=AC*BC/2=8*8/2=32 Smabn=Sabc-Scmn=32-8=24. Ответ: АВ=8[latex]\sqrt{2}[/latex], ВС=АС=8, [latex]AN=4\sqrt{5}[/latex], Scmn=8, Smabn=24. ;)