В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом С проведена биссектриса EF,причем FC=13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE

Обозначим минимальное расстояние от F до гипотенузы, как FH. Рассмотрим треугольники ECF и EHF. Они равны по у.с.у. (EF - общая сторона) Следовательно, CF = HF = 13 см Ответ: 13 см

Смотрите рисунок к задаче, который приложен к ответу. На рисунке есть все построения, описанные в задаче, а именно: [latex]\triangle CDE[/latex] с прямым углом [latex]\angle C = 90^{\circ}[/latex], EF — биссектриса [latex]\angle E[/latex], [latex]CF = 13[/latex], FG — искомый отрезок. ========== Решение: Докажем, что [latex]\triangle CEF = \triangle EFG[/latex]. 1) Так как [latex]EF[/latex] — биссектриса, то [latex]\angle GEF = \angle CEF[/latex] (биссектриса [latex]EF[/latex] делит [latex]\angle E[/latex] на два равные угла). 2) [latex]\angle C =\angle FGE = 90^{\circ} [/latex] (это следует из условия: так как [latex]\triangle CDE[/latex] прямоугольный, то и [latex]\angle C = 90^{\circ}[/latex]; так как [latex]FG[/latex] — расстояние от [latex]F[/latex] до [latex]DE[/latex], то [latex]\angle FGE = 90^{\circ}[/latex]). 3) Так как [latex]\angle C =\angle FGE[/latex] и [latex]\angle GEF = \angle CEF[/latex], то и третий угол первого треугольника равен третьему углу второго треугольника: [latex]\angle GFE = \angle EFC[/latex]. Это следует из того факта, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Тогда можно записать так: [latex]\angle C + \angle CFE + \angle CEF = 180^{\circ} \\ \angle FGE + \angle GEF + \angle GFE = 180^{\circ}[/latex] Отсюда: [latex]\angle CFE = 180^{\circ} - (\angle C + \angle CEF)\\ \angle GFE = 180^{\circ} - (\angle FGE + \angle GEF)[/latex] Суммы в скобках в обоих уравнениях равны (так как, как я уже отмечал выше, углы, составляющие те суммы, равны), а значит равны и разности в обоих уравнениях, а значит [latex]\angle CFE = \angle GFE[/latex]. 3) Сторона [latex]EF[/latex] является для обоих треугольников общей. Собранных сведений достаточно, чтобы заключить, что [latex]\triangle CEF = \triangle EFG[/latex] (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам ([latex]EF[/latex] — сторона, а [latex]\angle GEF = \angle CEF \,\,\,\, \angle GFE = \angle EFC[/latex] — два прилежащих угла)). Раз треугольники равны, то и все их их соответственные элементы равны. Видим, что искомой стороне [latex]FG[/latex] соответствует [latex]CF[/latex], тогда: [latex]FG = CF = 13[/latex] Ответ: 13.  ========= Ответ можно проверить, геометрически (линейкой) измерив искомый отрезок [latex]FG[/latex]. Смотрите второй рисунок.