В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6, а площадь равна 9. Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е. r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза. Полезно эту формулу запомнить, не раз еще пригодится. -------------------------------------- Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти стороны треугольника, а для этого нужна его высота.  S=h*c:2 h=2S:c, где с - основание треугольника ( здесь - гипотенуза).  18:6=3 см Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) Найдем эти отрезки: 3²= x *(6-x) 9=6х-х² х²-6х+9=0 Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня =3 Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник - равнобедренный. Высота равна 3, половина гипотенузы=3. Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника) х²=3²+3²=18 х= √18=3√2 Катеты равны 3√2 ---------- Повторим: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е. r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза. r=(2*3√2-6):2=(6√2-6):2=6(√2-1):2=3(√2-1)