В прямоугольном треугольнике проведены высота и биссектриса прямого угла равны 5 и 7. Найдите площадь треугольника.

ΔАВС , ∠С=90°  ,  СН⊥АВ  ,  СМ - биссектриса ⇒ ∠АСМ=∠ВСМ=45° СН=5  ,  СМ=7    ΔСМН- прямоугольный , ∠СНМ=90°  ⇒  сos∠МCН=CH/CM=5/7    Обозначим ∠МСН=α  ⇒сosα=5/7 ΔBCH - прямоугольный ,  ∠СНВ=90° , ∠ВСН=45°-∠МСН=45°-α BC= CH/cos∠BCH =5/cos(45°-α) cos(45-α)=cos45·cosα+sin45·sinα=√2/2·(cosα+sinα) BC=5√2/(cosα+sinα)     ΔАСН - прямоугольный , ∠СНА=90° , ∠АСН=∠АСМ+∠МСН=45°+α     АС=CH/cos∠ACH=5/cos(45°+α)     cos(45+α)=cos45·cosα-sin45°·sinα=√2/2·(cosα-sinα)     AC=5√2/(cosα-sinα) S(ABC)=1/2·AC·BC [latex]S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5\sqrt2}{cos \alpha -sin \alpha } \cdot \frac{5\sqrt2}{cos \alpha +sin \alpha } = \frac{25\cdot 2}{2\cdot (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha )} = \frac{25}{cos2 \alpha }\\\\cos2 \alpha =2cos^2 \alpha -1=2\cdot (\frac{5}{7})^2-1=2\cdot \frac{25}{49}-1= \frac{50-49}{49} =\frac{1}{49} \\\\S_{ABC}= \frac{25}{ \frac{1}{49}}=25\cdot 49= 1225[/latex]