В прямоугольном треугольнике расстояние от точки пересечения медиан до гипотенузы равно 2 см, а высота, проведенная к гипотенузе, делит ее в отношении 9:1. Найти стороны треугольника.

В точке пересечения медиана делиться в отношений [latex]2:1\\ [/latex] , пусть [latex]C=90а[/latex]   [latex]CN[/latex] высота    , [latex] CO[/latex] медиана    .   [latex]a;b[/latex] катеты ,  [latex]c=\sqrt{a^2+b^2}[/latex] гипотенуза .   Положим сто точка пересечения  медиан треугольников   [latex] L[/latex]           [latex]CO=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ LO=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{3}\\ [/latex]    [latex]CL=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{6}\\ CN=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}[/latex]   Из подобия треугольников        [latex]OLH;\\ OCN[/latex]          [latex] H[/latex]  расстояние     [latex]\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{6} = \frac{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}{\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\\\ [/latex]    [latex]a^2-\frac{9\sqrt{a^2+b^2}}{10} = b^2-\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{10}[/latex]   получим  [latex] a=\frac{3}{2}(\sqrt{13}-1)\\ b=\frac{1}{2}(\sqrt{13}-1) [/latex]    Тогда гипотенуза    [latex] \sqrt{0.5(61-\sqrt{13})}[/latex]