В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит один из катетов на отрезки длиной 6 дм и 10 дм, считая от вершины прямого угла. Найти периметр треугольнике.

Обозначим углы треугольника А, В, С, где С - прямой угол. Пусть Е, К, М точки касания вписанной окружности сторон АВ, ВС и АС соответственно. Пусть СК=6, АК=10. Как известно, касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Поэтому СМ=СК=6, АЕ=АК=10. Обозначим ВМ=ВЕ=х. По теореме Пифагора АС^2+BC^2=AB^2; (10+6)^2+(6+x)^2=(10+x)^2; 256+x^2+12x+36=x^2+20x+100; 8x=156; x=19,5. Периметр треугольника равен: P=AC+BC+AB= AK+CK+CM+BM+AE+BE = 10+6+6+19,5+10+19,5 = 71 (дм).