В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу равна 24, радиус описанного круга 25. Найти периметр треугольника

На гипотенузе отмечена точка центра окружности описанной. Гипотенуза равна в 2 раза радиуса [latex]c=2R=2*25=50[/latex] - гипотенуза [latex]S= \frac{c*h}{2} = \frac{50*24}{2} =600[/latex] кв. ед. Упростим периметр [latex]P=a+b+c \\ P= \sqrt{(a+b)^2} +c \\ P= \sqrt{a^2+b^2+2ab} +c \\ P= \sqrt{c^2+4S} +c \\ P= \sqrt{50^2+4*600}+50=120 [/latex] Ответ: 120.

Вариант решени.  Пусть дан треугольник АВС. Угол С=90° СН - высота=24 R=25 Радиус окружности,  описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.  АВ=2R=2*25=50 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой: СН²=АН*ВН ВН=АВ-АН Примем АН равной х, тогда ВН=50-х 24²=х*(50-х) 576=50х-х²  х²-50х+576=0 Дискриминант равен: D=b² -4ac=-50² -4·576=196 х₁=(50+√196):2=32 х₂=(50-√196):2=18 Оба корня равны частям АВ. АН=32 ВН=18 Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.  Найдем АС:  АС²=АВ*АН АС²=50*32=1600 АС=√1600=40 ВС²=АВ*ВН ВС²=50*18=900 ВС=30 Р=30+40+50=120