В равнобедренном треугольнике ABC основание AC=12, AB=BC=8. Найти длину биссектрисы [latex] CC_{1} [/latex] угла ACB.

Есть готовая формуле, по ней  [latex]CC_{1}=\frac{\sqrt{12*8(12+8-8)(12+8+8)}}{12+8} = \frac{12\sqrt{14}}{5}[/latex] Решение: Найдем по теореме косинусов сам угол  [latex]ACB[/latex]     [latex]8^2=8^2+12^2-2*8*12*cosACB\\ cosACB=\frac{3}{4}\\ [/latex] так как [latex]CC_{1}[/latex] биссектриса то углы  [latex]BCC_{1}=\frac{arccos\frac{3}{4}}{2}\\ [/latex] теперь пусть [latex]BC_{1}=x\\ AC_{1}=8-x\\ CC_{1}=y[/latex] тогда справедливы такие соотношения  [latex]x^2=8^2+y^2-16y*cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\ (8-x)^2= 12^2+y^2-24y* cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\[/latex] Теперь преобразуем [latex]cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\ [/latex]  по формуле половинного  аргумента  [latex]cos\frac{a}{2} = \sqrt{ \frac{1+cos(arccos\frac{3}{4})}{2}} =\sqrt{\frac{7}{8}}\\ [/latex] то есть нужно решить систему уравнения  [latex]x^2=64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}}\\ (8-x)^2=144+y^2-24y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ \\ (8-x)^2-x^2 = 80-8y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ (8-2x)8=80-8y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ 8-2x=10-y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ -2x=2-y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ x=\frac{2-y\sqrt{\frac{7}{8}}}{-2}\\ [/latex] подставим это соотношение в любое из уравнений  [latex](\frac{2-y\sqrt{\frac{7}{8}}}{-2}) ^2=64+y^2-16y* \sqrt{\frac{7}{8}}\\ 4-4y \sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}})\\ [/latex] [latex]4-4y \sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}})\\ 4-4y\sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=256+4y^2-64y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ 252+4y^2-\frac{7y^2}{8}-60y\sqrt{\frac{7}{8}} = 0\\ \frac{25y^2}{8}-60y\sqrt{\frac{7}{8}} +252=0\\ D=(3600*7/8)-4*25/8*252=0\\ y=\frac{60* \sqrt{\frac{7}{8}}}{\frac{25}{4}}=\frac{12\sqrt{14}}{5}[/latex]